损失函数容易陷入这两个点，而下一步的梯度很小或者为0，不能继续训练。
不过，对于神经网络这样非常复杂的高维非凸模型，已经有理论证明局部最小值与全局最小值非常接近，所以第一个问题目前不算太关注，鞍点才是更关注的问题。

w:参数；f(w)：损失函数；η:学习率；t：迭代次数（iteration）；▽:梯度

Δwt?=?▽f(wt?)

wt+1?=wt?+η?Δwt?
这里的损失函数计算的是所有训练集数据的损失。

注：知乎上latex公式转不了，看起来很不好看，可以直接转csdn上看这篇文章：https://blog.csdn.net/weixin_41786536/article/details/100187562

优点：
一般来说收敛性能比较好

缺点：
1.训练速度慢
2.对内存和算力的要求比较高，只适合小数据集的学习，目前几乎不会使用这种方法。

计算公式与全量梯度下降相同，只不过这里一次只取一个样本而不是所有的样本。

优点：
训练速度快

缺点：
每次只有一个样本，随机性比较大，很可能不收敛，非常震荡，目前几乎不会使用这种方法

注：其实SGD应该是上面那个单样本随机梯度下降的简称，但现在它已经不用了，所以默认小批量随机梯度下降为SGD

每次随机取相同数量的样本，这个样本数量为batch size.

优点：
结合了全量和单样本梯度下降的优点，很大程度上减弱了二者的劣势。

缺点（与下面的几种算法相比）：
1.收敛比较慢；
2.容易陷入鞍点，尤其是在这些点会非常震荡，如果可视化出来，会呈现“之”字型来回曲折；
3.对学习率比较敏感，需要合适的学习率。

针对SGD容易陷入鞍点的问题，这里借助物理学的动量的概念（不如说是惯性更好理解）。当损失到达一个梯度很小的地方时，SGD可能就难以继续下去了，但是类比于小球在坑坑洼洼的空间滚动，当其落入局部洼地（局部最小值）或平缓地带（鞍点），借助于惯性还是可以继续走下去的，这个惯性是当前的速度决定的，于是在这里引入速度变量vt?,且v0?=0.
Δwt?=?▽f(wt?)

vt+1?=γ?vt?+η?Δwt?

wt+1?=wt?+vt+1?

其中γ为常量（一般为0.9），代表衰减（物理里的摩擦）系数。

优点：
1.加速收敛，减小震荡；
2.缓解SGD陷入鞍点的问题。

缺点（与后面的几种算法相比）：
依然有震荡现象

在SGD with m 的算法中，用当前时刻的梯度来计算下一时刻的速度，这可能不是非常准确，NAG方法先估计下一时刻的梯度，再用这个梯度来求速度。
Δwt?=?▽f(wt?+γ?vt?)

vt+1?=γ?vt?+η?Δwt?

wt+1?=wt?+vt+1?
该方法没有对参数求梯度，这就没有计算损失函数，所以在实际中不好用，一般会对wt?+γ?vt?进行换元，使得能够同时计算对参数的梯度。
优点：
震荡情况比SGD with m更小

总结以上五种优化算法，其特点是对所有的参数使用相同的学习率η。但实际上，神经网络参数非常多，在训练过程中有的参数会更新得很快，下降很快；有的参数更新得很慢，下降很慢。如果对不同的更新快的参数用小的学习率，对更新慢的参数用大的学习率，能够使得所有的参数都更新的比较好。于是出现了下面的自适应优化算法。

pytorch用一个优化器提供了SGD、SGD with m和NAG的算法的实现,由于全量和单样本梯度下降几乎不会用到，所以pytorch并不提供相关算法，而且这两种也可以通过改变batch_size的大小来实现。

optimizer=optim.SGD(params, lr=required, momentum=0, dampening=0, weight_decay=0, nesterov=False)

lr:学习率
momentum:动量大小，即γ，一般设为0.9，如果为0则不带动量项。
weight_decay:l2正则化的系数
nesterov:是否使用NAG优化算法

该方法引入了各个维度的参数的梯度的平方和∑i=1t?(▽f(wi?))2,其中i为参数的维度,ε为很小的正数（一般为1e-7）,防止分母为0.
(wt+1?)i?=(wt?)i∑i=1t?(▽f(wi?))2+ε?η(▽f(wi?))i?

学习率实际上是∑i=1t?(▽f(wi?))2η?，当这个维度的参数的历史梯度较大时，学习率较小，当其历史梯度较小时，学习率较大，这就实现了对不同的参数自适应分配学习率。

优点：
1.实现了不同参数的学习率自适应分配；
2.比较适合具有系数梯度的模型，这种模型的特点就是不同参数梯度差距比较大

缺点：
在训练的后期，梯度平方和的累积项可能会非常大，导致学习率很低，使得无法继续更新，早早就不能训练 （尤其是在非凸的神经网络模型上，而在凸函数模型上无此问题）

optimizer=optim.Adagrad(params, lr=0.01, lr_decay=0, weight_decay=0, initial_accumulator_value=0)

RMSProp算法用到了指数加权移动平均。
这是一种预测方法，对历史最近的一部分观察值赋予不同权重，并且靠近当前的值赋予大权重，远离当前的值赋予小权重，求得移动平均值，以该移动平均值来预测未来的值。
yt?为要预测的变量，xt?为相关的一个变量.
yt?=γ?yt?1?+(1?γ)?xt?=(1?γ)?xt?+γ?yt?1?=(1?γ)?xt?+(1?γ)?γxt?1?+γ2?yt?2?.......
换元n=1?γ1?,则(1?n1?)n=γ1?γ1?
又n→+∞lim?(1?n1?)n=e?1?<1
所以当γ接近于1时，γ1?γ1?=e?1,于是可以忽略没有γ1?γ1?低的项。
因此yt?=(1?γ)?i=0∑1?γ11?vi?xt?i?
yt?就是最近的1?γ1?时间步的xt?的加权平均。

与Adagrad相比，不再累积历史全部梯度的平方和，而是只取最近的过去的一段时间内的梯度信息
vt+1?=γ?vt?+(1?γ)?(▽f(wt+1?))2

(wt+1?)i?=(wt?)ivt+1?+ε?η(▽f(wi?))i?
vt+1?是(▽f(wt+1?))2的指数加权移动平均，即1?γ1?个时间步长的梯度平方和的加权平均，越靠近当前时间的梯度的权重越大。

优点：
解决了Adagrad在训练后半期难以更新的问题

optimizer=optim.RMSprop(params, lr=0.01, alpha=0.99, eps=1e-08, weight_decay=0, momentum=0, centered=False)

对RMSProp做了改进，引入了一个额外的变量Δxt?,且x0?=0，用Δxt代替学习率
vt+1?=γ?vt?+(1?γ)?(▽f(wt+1?))2

(wt+1?)i?=(wt?)ivt+1?+εΔxt?+ε?(▽f(wt?))i?

Δxt+1?=γ?Δxt?+(1?γ)?(vt+1?+εΔxt?+ε?▽f(wt?)i?)2

Δxt+1?是(vt+1?+εΔxt?+ε?▽f(wt?)i?)2的指数加权移动平均。

优点：
1.不需要设定全局学习率，一下子解决了调参过程中最重要的参数的选择
2.同样解决了Adagrad在训练后半期难以更新的问题

optimizer=optim.Adadelta(params, lr=1.0, rho=0.9, eps=1e-06, weight_decay=0)

Adam相当于RMSProp+momentum，将两类方法的优势结合起来，集大成者。momentum使用了一阶梯度，RMSProp使用了二阶梯度，Adam二者均使用。
一阶梯度：mt?=β1mt?1?+(1?β)?▽f(wt?)

二阶梯度：vt?=β2vt?1?+(1?β2?)?(▽f(wt?))2

偏差修正：在训练的前期，梯度权值之和比较小，需要将权值之和修正为1.
mt?^?=1?β1?mt

vt?^?=1?β2?vt

(wt+1?)i?=(wt?)ivt?^+εηmt?^?
其中β1?=0.9,β2?=0.999

optimizer=optim.Adam(params, lr=0.001, betas=(0.9, 0.999), eps=1e-08, weight_decay=0, amsgrad=False)

pytorch还提供了另外四种优化算法，由于用的不是很多，我也没有仔细研究。
以目前的情况来看，Adam成为了一个无脑选择，绝大数工程和研究都用Adam，但实际上有研究证明自适应的算法不一定能找到最优的结果，这个只能算是“懒人做法”。使用最原始的SGD再配合更合适的学习率下降和训练技巧能获得更好的结果，但这对算法和模型的理解要求比较高，毕竟深度学习的研究中优化算法往往不是考虑的最重要因素，更重要的是结构模型、数据等，所以使得Adam成为了万金油的选择。