有没有人做过两项材料的拓扑优化，有一点不太清楚。三相材料（含空洞）惩罚模型的两组设计变量xi1,xi2在调用MMA求解的时候怎么处理？分别进行优化？还是组装成一个列向量，调用MMA求解？

你用的Svanberg公开的matlab写的代码吧？MMA只是算法，本身不关心原本的问题是什么样的。计算目标函数、约束对每一个设计变量的导数，按照一定规则把变量和所有导数整理成“对应的”列向量

直接组装成一个列向量，放进MMA一起计算。只要你放进MMA的sensitivity information和你的列向量x是一一对应的就可！

拓扑优化与增材制造的集成可以实现材料、结构、工艺和性能的一体化，对提高航空航天轻量化有着显著优势。

案例：飞机面板轻量化薄壁结构

特点：通常，对加强筋结构布局设计是先进行常规拓扑优化得到加强筋，然后用格子结构填充空隙部分。那样没有考虑优化过程中不同结构布局对整体结构力学性能的影响，因此得到的优化结果不一定是最优的结构优化结果。本项目将加强筋结构与格子结构结合起来，同时布局优化。

研究团队：西北工业大学、北京航天技术学院、北京长征航天器研究所

拓扑优化设计：该结构由三部分组成：蒙皮、格子和加强筋。在这项研究中，两个蒙皮的厚度假定不变，而加强筋和格子的布局将同时设计。（设计流程如下图）

首先，根据3D打印方向、工艺，以及材料的力学性能、功能要求选择合适的晶格单元。

然后，将选定的晶格单元视为虚拟均质材料，并在周期性边界条件下通过基于能量的均质化方法计算其宏观等效弹性。同时，用给定的结构材料对加强筋进行建模。

等效应力和等效应变应遵循胡克定律。DH是虚拟均匀介质的等效弹性矩阵，σˉ是等效应力，εˉ是虚拟均质介质的等效应变。考虑到结构特点，虚拟材料可视为三维正交各向异性材料。

根据均匀化定义和连续介质力学理论，将应变场应用于晶胞模型时，必须满足周期性和连续性条件。因此，在有限元分析中的应变能求解过程中，应采用周期性边界约束来耦合晶胞顶点、边和面上相应节点的位移。

最后，对格子和加强筋的薄壁结构进行布局优化设计。在薄壁结构设计域的有限元模型中，每个离散单元可以由两种材料按比例组成。每种材料的比例系数由给定的插值模型描述。根据设计目标和约束条件，构建总体布局拓扑优化公式，分析拓扑优化问题的敏感性，采用梯度驱动算法求解优化问题，得到格子和加强筋的最优布局。

建立了多材料拓扑优化公式，用于具有格子和加劲肋的薄壁结构的布局优化，以最小化结构在质量约束下的整体柔度。

K是全局刚度矩阵。u和F分别是节点位移矢量和节点力矢量。C=uTKu。n和m分别是可设计元素和候选材料的数量。例如，在考虑一种晶格结构和固体材料的情况下， m ?=2。在这个公式中，x表示设计变量的集合，x ij表示第i个有限元中第j个候选材料的存在 (1) 或不存在 (0) 。为避免有限元分析中结构刚度矩阵的奇异性，引入了设计变量x min ?=10 -3的下界。注意F d是指取决于设计变量的惯性载荷矢量，而施加的机械力F a应该与设计无关。FiTd=-Mia 。其中a是加速度矢量，Mi是第i个可指定元素的质量矩阵。

在静态有限元分析中，可以计算单元刚度矩阵

考虑到晶格结构通常等效于各向异性材料，材料插值模型采用单元弹性矩阵D i而不是杨氏模量。D i可以表示为所有候选材料的加权总和

其中下标i和j分别表示第i个可指定元素和第j个候选材料。D（j）是第j个候选材料的弹性矩阵。

SIMP方案与UMMI方案结合使用，以制定材料特性的模型。假设p为 SIMP 方案中的约束项，则上述参数化模型中的权重函数对应如下

为了制定结构质量，将元素i中的密度的线性公式内插为

ρi是第i个元素的密度，ρ（j）是第j个候选材料的密度。

然后将多材料的相应质量约束表示为线性表达式

这里V i表示第i个元素的体积。

为了计算与设计相关的节点力矢量，第i个可设计元素M i的质量矩阵可以表示为

其中，M i 0是填充有单位密度固体材料的第i个可设计元素的质量矩阵。

结构整体柔度C的灵敏度则对应如下

根据平衡方程的微分，全局节点位移矢量的偏导可写为

显然，对于与设计无关的作用力，? F a /? x ij ?=0。因此，C的灵敏度表示为

可以导出

那么，? F d /? x ij可以表示为

验证：

为了验证具有格子和加强筋面板结构的力学性能，将采用该方法设计的面板结构与加强筋面板结构和格子夹芯面板结构进行比较。增材制造方式为SLM，粉末材料为AlSi10Mg。

1、具有格子和加强筋的面板结构

该试样选用 BCC 晶格单元。主要原因如下：(a) 施加在结构上的载荷是均匀的气动压力，BCC 晶格单元在承受单向压力方面具有优异的性能11. (b) 面板结构采用SLM（选择性激光熔化）3D打印方法制作，面板结构沿长度方向打印。使用BCC晶格单元可以避免使用支撑结构来提高制造效率和平等性。(c) BCC晶格单元沿排列方向对称，保证了单元边界处的连通性和连续性。

一层BCC晶格单元用于在厚度方向填充面板结构。晶格单元的尺寸为18 mm×18 mm×18 mm，晶格杆的直径为1.8 mm。

经过32次迭代得到优化结果，加强筋从连接条上生长出来，最后连接在一起。具有格子和加强筋的薄壁面板结构的最终拓扑结构如下图

2、加强筋面板结构

3、格子夹芯面板结构

BCC晶格单元的杆直径设置为 3.7 mm。

三种试件在均匀气动压力下的测试比较。具有格子和加强筋的面板结构具有最高的刚度。其最大变形量分别比加强筋面板结构及格子夹芯面板结构小39.4%和33.6%。受益于格子，带格子和加强筋的面板结构与格子夹芯面板结构没有发生明显的局部变形。此外，它们的 Von-Mises 应力分布比加强筋面板结构更均匀。后者的应力分布明显受加强筋的影响，应力集中存在于蒙皮与加强筋的连接处。

具有格子和加强筋的面板结构具有更高的固有频率。研究发现，带格子和加强筋的面板结构的前三种振型与格子夹芯面板结构非常相似，而前者具有更高的固有频率。

给定均匀气动压力下的屈曲分析结果表明，带格子和加强筋的面板结构的临界屈曲系数远高于其他两种设计。特别是加强筋结构抗屈曲能力较弱，无支撑的蒙皮容易发生局部屈曲。结果证明，填充格子结构可以增加临界屈曲载荷，防止薄壁结构发生屈曲。

以上拓扑优化设计可以实现材料结构工艺一体化融合。